補習塾ぬまーの寺小屋

脱カンペキ主義!必要なところを抑えた7割勉強でOK

【高校数学】センターと相性抜群!余りの問題は合同式で楽しよう

「△ABC≡△DEF」

f:id:nummerorange:20201229150359p:plain

この表現、いわずもがな合同ですよね!

 

今回はこの「≡」を使って整数問題を楽に考えていきます。知っている方は多いですが、意外と浸透していないのでもったいなと思った次第でございます。布教します!フランシスコ≡ザビエルっす(意味不明)。

 

目次

 

合同式を使うのは「余り」の問題

センター数学ⅠAでよく出てくる「○の余りを求めなさい」系の問題で使います。

 

例えばこんな問題

(1)171を11で割った余りを答えなさい。

(2)2020を11で割った余りを答えなさい。

(3)171×2020を11で割った余りを答えなさい。

 

センター数学だと、おそらく素因数分解させると思います。

171を素因数分解すると

171=3×3×19

はい、ここで合同式を使います!

 

どうするかというと、各素因数をそれぞれ11で割った余りに置き換えるのです。

3≡3(mod11)

この式の意味は「3を11で割った余りは3」です。19も同様に

19≡8(mod11)

この式の意味は「19を11で割った余りは8」。もっと正確に言うと、「3を11で割った余りは8を11で割った余りと等しい。」と言う意味です。ちょっとややこしい言い方ですね笑。でも、この考え方が次に生かされます!

 

「≡」が役立つのは、ここからです。

3×3×19

3×3×8(mod11)

24×3(mod11)

≡2×3(mod11)

≡6(mod11)

よって、171を11で割った余りは6。

 

・・・ん?今何が起きた!?

 

合同式は積の答えにも適用できる

合同式は積の一部の項にも適用できるため、好きな項と項をかけ算して、その結果に対して合同式を適用していけば、大きな数の割り算をしないで答えの余りを出すことができます!

 

(1)

3×3×19

3×3×8(mod11)

24×3(mod11)

≡2×3(mod11)

≡6(mod11)

上記の場合だと、途中の計算で先に「3×8」から計算して余り2を出しました。

 

 

では、

(2)2020を11で割った余りを答えなさい。

(3)171×2020を11で割った余りを答えなさい。

を解いていきましょう。

 

(2)も(1)と同様、センター数学なら素因数分解させてくると思われます。

2020=2×2×5×101

より、

2020

≡2×2×5×2(101を11で割った余りは2)

≡20×2(mod11)

≡9×2(mod11)

≡18(mod11)

≡7(mod11)

 

よって余りは7と求められます。

 

合同式は和と差にも利用可能

合同式は余りを使った計算なので、当然和と差にも適用できます。

例えば次の問題、

(4)171+2020を11で割った余りを答えなさい。

171+2020

≡6+7(mod11)

≡13(mod11)

≡2(mod11)

 

よって余りは2。

 

こうして簡単な足し算問題にすり替えて計算できます。

除法だとストレートに使えないので、避けるのがオススメ!)

 

証明問題を瞬殺

以上が合同式の基本的な使い方ですが、本当に便利なのは証明問題です。

もはや反則級のスピードで問題を片付けられます。

(5)

f:id:nummerorange:20201230214214p:plain

 

これは3で割った余りについての問題なので、mod3を使います。

証明は以下のような流れ。

 

f:id:nummerorange:20201231112606p:plain



終了!!!

ちょろいもんっす笑。

 

こんな感じで合同式を使うだけで場合分け、計算も簡単になります。

たとえ学校であまりやらなかったかったとしても、ガッツリ参考書には書いています!

ぜひぜひマスターして、回答速度を爆上げしましょう。

 

それでは!

 

 

  

高校数学は「青チャート」が一押しです。 

 

 

DMにて勉強法の相談受け付けております。

Instagram

たまにつぶやきます!

良かったと思ったらクリックしてね!

にほんブログ村 教育ブログ 高校教育へ
にほんブログ村